有限群的基本性质

设 $G$ 是有限群, $|G|=n$.

1. 若 $H < G$, 则 $|H|$ 可整除 $|G|$.   
2. $G$ 中每个元素的阶一定是 $|G|$ 的约数.
3. $\forall\ g\in G$, $g^n=e$.

(1) 是 Lagrange 定理 . 

(2) 任取 $a\in G$, 由 $a$ 生成的循环群 $\langle a\rangle$ 是 $G$ 的子群. 根据 Lagrange 定理, $|\langle a\rangle|$ 是 $|G|$ 的因子. 这里 $|\langle a\rangle|$ 即为 $a$ 的阶.

(3) 任取 $g\in G$, 设 $g$ 的阶(记为 $\mathrm{ord}_{G}(a)$, 表示元素 $a$ 在群 $G$ 中的阶 order) 为 $d$, 则 $d$ 是 $n$ 的因子. 不妨设 $n=d\cdot m$, 则

\[
g^n=g^{dm}=(g^d)^m=e^m=e.
\]